Слово министерство пишется с большой буквы как первое слово официального названия учреждения: Министерство обороны Украины. Если полное официальное название не приводится, правильно написание строчными, например: в министерстве обороны пояснили...
Первая мировая война, Министерство образования и науки РФ.
В художественном тексте возможно написание строчными буквами.
См. ответ на вопрос № 277219.
1. Необходим именительный падеж. Правильно: Разум vs провокация; Путин vs Медведев.
2. Сокращенное название – Минэнерго России.
Это зависит от официального названия учреждения.